Funciones Cuadráticas

FUNCIONES CUADRÁTICAS

   APLICACIONES

 Las funciones cuadráticas tienen múltiples aplicaciones en otras ciencias que se nutren de la Matemática para utilizarla como una herramienta para modelar y explicar algunos fenómenos. Algunas de estas ciencias son Biología, Física, Economía, entre otras.
  Ejemplo:

              Un gallinero es atacado por una epidemia. A partir del instante en que se detectó el mal, se dedujo que la mortalidad diaria sigue la ley f(x) = -x²+30x+99, donde x son los días y f(x) las muertes diarias.

a) ¿Cuántos animales murieron el día que se detectó el mal? 

b) ¿En que día se produjo la mortalidad máxima? ¿De cuántas gallinas fue?

c) ¿Cuánto tiempo duró la epidemia? 

  Resolución:

   Siempre es bueno comenzar realizando un bosquejo de la situación (qué representa cada eje, qué representa cada elemento de una función cuadrática en el problema) razonando sobre la misma, en este caso a medida que transcurren los días más animales enfermos hay que contagian a otros y mueren, pero llega un momento en que esto comienza a revertirse porque puede ser que se administre un medicamento, se separe a los sanos, etc.:

a) El día que se detectó el mal (el inicio de la epidemia) se corresponde con la ordenada al origen, que es c = 99.

Rta.: El día que se detectó el mal murieron 99 animales.

b) La mortalidad máxima se corresponde con el vértice (el punto máximo de una parábola cóncava hacia abajo). 

Calculemos sus coordenadas:

La abscisa del vértice es 15.

La ordenada del vértice es 324.

Por lo tanto el vértice está en V = (15; 324).

Rta.: La mortalidad máxima fue el día 15. Murieron 324 gallinas ese día.

c) El total de días que dura el mal (el final de la epidemia) se corresponde con una de las raíces, que es aquella que sea positiva y mayor a la otra.

Aplicando la fórmula resolvente:

Rta.: La epidemia duró 33 días.

   Ejercicios

1) Ramón lanza un balón al aire. La altura que alcanza éste en cualquier instante x, está dada por la fórmula y = 96x-16x². ¿En qué instante el balón llega a su altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima?

2) Un granjero decide criar patos y compra una cierta cantidad entre machos y hembras. Se empiezan a reproducir y la población crece en función del tiempo y este crecimiento esta dado por la fórmula f(x) = -2x²+20x+22, en donde f(x) es el número de patos y x los años transcurridos.

a) ¿Cuántos patos compró? 

b) ¿Cuándo se da la mayor población de patos y cuántos patos son?

c) ¿En algún momento se extinguen? Si es así, ¿Cuándo?

3) Un delfín salta hasta cierto punto y empieza a caer. La función que describe dicha situación en términos del tiempo x (segundos) se expresa por f(x) = -6x²+12x. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? Justificar.

a) El tiempo que tarda el delfín en regresar al agua es 1 segundo. 

b) La altura máxima que alcanza el delfín es de 6 metros.

c) A los 0,8 segundos el delfín alcanza una altura de 5,76 metros.

d) El salto del delfín demoró 2 segundos.

4) Se lanza un objeto hacia arriba desde una torre. Se conoce en cada instante de tiempo x (segundos) la altura sobre el suelo y (metros) del objeto mediante la función y = -5x²+10x+75. Determinar desde qué altura se lanza el objeto, la altura máxima que alcanza y en qué momento y el tiempo que tarda en caer al suelo el objeto desde su lanzamiento.

5) La ganancia f(x) de una empresa (en cientos de miles de pesos) a lo largo de un período de 10 años está dada por la relación: f(x) = -5x²+40x+10 siendo x el tiempo expresado en años. ¿Cuándo han obtenido la máxima ganancia?

6) Una empresa de viajes está planificando su oferta para los viajes de egresados. Uno de los coordinadores recuerda conceptos matemáticos y arma una función que representa la ganancia f(x) en función de la cantidad x de alumnos f(x) = 500x-10x². Responder:

a) ¿Cuántos alumnos deben ir para que la ganancia de la empresa sea la máxima posible y cuál es dicho monto?

b) ¿Cuántos alumnos tendrían que viajar para que la empresa no le convenga organizar el viaje?