Ecuaciones Lineales

ECUACIONES LINEALES

   ECUACIONES CON COEFICIENTES ENTEROS
   Una ecuación es una igualdad en la que aparece, por lo menos, un valor desconocido llamado incógnita.

   Ejemplos:              x+2 = 0              6-3x = 5              x+4 = x-3           5-x = 3+2x²-8x

   Resolver una ecuación significa encontrar el valor o los valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad. Cada valor de la incógnita es una solución de la ecuación.

   Inicialmente nos centraremos en el trabajo de ecuaciones lineales o de primer grado (porque la variable sólo aparece elevada a la primera potencia) con una sola incógnita (representada por la letra x).

   En una ecuación podemos encontrar los siguientes elementos:

   Resolución:

   Para resolver una ecuación se deben tener en cuenta las siguientes propiedades básicas que permiten obtener ecuaciones equivalentes, es decir, con la misma solución.

* Si se suma o resta un mismo número a ambos miembros de la igualdad, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

* Si se multiplica o divide por un mismo número (distinto de cero) a ambos miembros de la igualdad, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

   Ejemplos:

                  x+4 = 20                       x-15 = -12                         4x = -20

               x+4-4 = 20-4             x-15+15 = -12+15                4x:4 = -20:4

                       x = 20-4                        x = -12+15                     x = -20:4

                       x = 16                           x = 3                               x = -5

   Verificamos    x+4 = 20              x-15 = -12                          4x = -20

                        16+4 = 20              3-15 = -12                     4.(-5) = -20

                            20 = 20                -12 = -12                        -20 = -20

   Ejercicios
   Resolver las siguientes ecuaciones.

1) x-3 = -7                                  2) -2x = 12                                  3) x-2 = -3

4) x+12 = 23                              5) x+2 = 1                                   6) 2x+7 = 15

7) 3x+5 = 8                                8) 2x-2 = 4                                  9) 10x-4 = 26

10) 2x+1 = 9                              11) 5x-6 = 4                                12) 2x+2 = 8
   Realizar las verificaciones correspondientes.


   ECUACIONES CON INCÓGNITA EN AMBOS MIEMBROS

   Para resolver una ecuación con la incógnita en ambos miembros, como por ejemplo 2x-5 = 3x+5, es necesario seguir los siguientes pasos:

*   Separar en términos.
*  Agrupar los términos con incógnita en un miembro de la ecuación y los términos numéricos en el otro miembro, siguiendo las propiedades básicas de suma y resta vistas anteriormente para obtener ecuaciones equivalentes.
*  Realizamos las operaciones que sean necesarias para simplificar cada miembro.
*   Despejamos la incógnita siguiendo la propiedad básica de multiplicación estudiada en la página anterior.
*   Resolvemos la última operación que nos quede planteada.
*   Verificamos el resultado hallado (opcional).
   Ejemplos:
                  2x-5 = 3x+5                                            3x+1 = x-3

                2x-3x = 5+5                                               3x-x = -3-1

                      -x = 10                                                    2x = -4

                       x = 10:(-1)                                               x = -4:2

                       x = -10                                                     x = -2

  Verificamos     2x-5 = 3x+5                                   3x+1 = x-3

                   2.(-10)-5 = 3.(-10)+5                       3.(-2)+1 = -2-3

                        -20-5 = -30+5                                  -6+1 = -2-3

                           -25 = -25                                           -5 = -5

   Ejercicios 

   Hallar el valor de x.

1) 3x-x = 10                                                  2) 3x+5 = 4x                    

3) 3x+27 = 6x                                               4) 3x+18 = x

5) 2x+2 = x-9                                                6) -2x+10 = -5x+22         

7) 4x-2 = -2x+4                                             8) 3x+5 = 4x-7

9) 5x+5 = x+9                                               10) 2x+1 = 4x+1                

11) –x-8 = -9x+24                                         12) 6x+5x-8x+16 = -65

13) x+2x-5 = 4x+6                                        14) 6+2x-4 = x-1

15) 12-5+8x = -8+22x+x                               16) -9x-6+4 = 4+2x-8x

17) 2x-3+x-35 = 2-9x-4                                 18) 5x+15+4x+2-2x = 3x+20+5

   RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON PARÉNTESIS

  Para resolver una ecuación que tenga paréntesis, como por ejemplo 2.(2x-3) = 6+x, es necesario primeramente suprimir los paréntesis aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma (o resta, según el caso) y luego, proceder siguiendo los pasos estudiados en el capítulo anterior.

   Ejemplos:

                   2.(2x-3) = 6+x                                  3.(5x-2)-2.(3-x) = 2x+18

              2.2x+2.(-3) = 6+x                             3.5x-3.2-2.3-2.(-x) = 2x+18

                         4x-6 = 6+x                                        15x-6-6+2x = 2x+18

                         4x-x = 6+6                                         15x+2x-2x = 18+6+6

                            3x = 12                                                       15x = 30

                              x = 12:3                                                        x = 30:15

                              x = 4                                                             x = 2

Verificamos:  2.(2x-3) = 6+x                                  3.(5x-2)-2.(3-x) = 2x+18

                     2.(2.4-3) = 6+4                                 3.(5.2-2)-2.(3-2) = 2.2+18

                        2.(8-3) = 10                                           3.(10-2)-2.1 = 4+18

                              2.5 = 10                                                      3.8-2 = 22

                               10 = 10                                                       24-2 = 22

                                                                                                      22 = 22

 Ejercicios 

 Resolver las siguientes ecuaciones con paréntesis.

1) 8.(7+x) = 112                                              2) 4.(x-8) = 28                            

3) 4.(8+x) = 28                                                4) 2.(x+1) = 3x                         

5) 2.(x-3)-3x = 5                                              6) 12-3.(-5+2x) = 9

7) x+3.(x-1)-7 = 6                                            8) 3.(x-2)-(2x-1) = 0                   

9) 2.(3x-15)-4x+20 = 2                                    10) 3x-1 = 2.(x-1)

11) 8.(x-2) = 9.(x+1)                                        12) 8.(x-2) = 12.(x-3)  

13) 2x+3.(2x-1) = x+67                                    14) 3x+2-2.(2x-3) = x-2    

15) 6x+2.(1+x) = 3x-8+x-2                               16) 4-2.(1-2x)+3.(x-5) = 1  

17) -2.(-9x-3)-2 = -106+7.(-4x-4)                     18) 6.(-9x-2)+2 = 764+9.(7x-8)     

   PROBLEMAS DE ECUACIONES

   ¿Dónde se utilizan las ecuaciones?

  Las ecuaciones sirven para organizar y resolver problemas de la vida diaria en forma no explícita. Las utilizamos con mucha frecuencia, pero no sabemos que lo son y muchas veces no las anotamos en forma completa.

   Muchos problemas o la mayoría se pueden plantear como ecuaciones. Por ejemplo: calcular cuánto se gana por un trabajo a hacer, lo que comprar en la tienda, cuánto dinero se debe y de cuánto se dispone, cuánto de una cantidad le tocan a tantas personas; pero no solamente con el dinero se utilizan las ecuaciones, también con el tiempo, la comida, la temperatura, las calificaciones, las personas, en fin, en cualquier cosa que pueda ponerse en números.

   ¿Cómo se procede con un problema matemático?

  Para resolver cualquier problema matemático es recomendable seguir los siguientes pasos:

1.      Identificar qué es lo que debemos hallar (será nuestra incógnita).

2.      Identificar qué datos nos brinda el problema y expresarlos en lenguaje simbólico.

3.      Construir una ecuación con la información de los pasos anteriores.

4.      Resolver la ecuación.

5.      Comprobar los resultados obtenidos (opcional) y dar una respuesta al problema.

   Ejemplo:

                “La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar los dos números.”

1.      Incógnitas: dos números: x (número menor) e y (número mayor).

2.      Datos: la suma de dos números es 106: x+y = 106; el mayor excede al menor en 8: y = x+8.

3.      Ecuación: x+(x+8) = 106.

4.      Resolvemos: x+(x+8) = 106

                              x+x+8 = 106

                                   x+x = 106-8

                                     2x = 98

                                       x = 98:2

                                       x = 49

5.      Comprobamos: 49+(49+8) = 106

                                            106 = 106

x = 49 e y = x+8 = 49+8 = 57

Respuesta: Los números son 49 y 57.

   Ejercicios

1) Cuando Michael nació, la hermana de su mamá tenía 15 años. Si la edad actual de su tía es 46 años, ¿cuántos años tiene Michael?

2) La suma de dos números pares consecutivos es 210. Hallar esos números.

3) Calcular el número que se triplica al sumarle 26.

4) Inventar una situación que pueda ser resuelta con la siguiente ecuación y resolverla:

x+(x+1)+(x+2) = -18.

5) Pagué $870 por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costó $50 mas que el libro y el traje $200 mas que el sombrero. ¿Cuánto costó cada cosa?

6) -Entre los dos tenemos 600 euros.

-Sí, pero yo tengo el doble que tú.

¿Cuántos euros tiene cada joven?

7) La suma de las macetas de dos casas vecinas es 365. Una tiene 43 macetas mas que la otra. ¿Cuántas macetas tiene la casa que más tiene?

8) Ana tiene 36 años menos que su padre y dentro de 8 años, su padre tendrá el cuádruplo de los que entonces tenga ella. ¿Qué edad tiene cada uno en la actualidad?

9) Un electricista debe colocar 24 focos en la casa del señor Codavalente, ganando $2 por cada foco que coloque, pero debe pagar $6 por cada foco que rompa. Al concluir el trabajo se le pagó $16. ¿Cuántos focos rompió?

10) Un empleado cobra $120 diarios cuando acude al trabajo y cuando no lo hace sufre una penalización de $40. Sabiendo que al cabo de 40 días la cantidad que percibió fue de $3200, hallar el número de días que faltó al trabajo.