Trigonometría

TRIGONOMETRÍA

  INTRODUCCIÓN

   La Trigonometría es la rama de la Matemática que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo.

   El término Trigonometría proviene de la fusión de las palabras griegas trigonon (triángulo) y metron (medida).

   Actualmente entre las áreas del conocimiento donde es muy utilizada la Trigonometría se puede mencionar la astronomía, en la cual se emplea para calcular la distancia entre planetas y/o estrellas; la arquitectura, donde de su uso depende la creación de los planos y su posterior ejecución; la  navegación, que cuenta con instrumentos como el sextante, que permitieron medir distancias; también en la geografía se aplica para calcular longitudes; además de otras ciencias, como las distintas ingenierías, la programación, la física, la medicina, etc.

   Dentro del amplio campo de estudio de la Trigonometría, nos centraremos en los triángulos rectángulos.

   Triángulo rectángulo

   Se llama triángulo rectángulo a aquel que tiene un ángulo recto (90°) y, por consiguiente, los otros dos ángulos son agudos (menores de 90°). Los lados que forman el ángulo recto se denominan catetos, mientras que el lado restante (el más largo) es la hipotenusa. 

   RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

   Se denomina razones trigonométricas a las razones (cocientes) entre los lados de un triángulo rectángulo y que sólo dependen de los ángulos de éste. Establecen la relación que existe entre los lados y los ángulos agudos de un triángulo rectángulo.

   Las razones trigonométricas son seis: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, siendo las tres primeras las más básicas y, por lo tanto, las más utilizadas.
   Para todo triángulo rectángulo se definen las siguientes razones trigonométricas de un ángulo agudo α entre las longitudes de sus lados (cateto adyacente, cateto opuesto e hipotenusa):

   Ejemplo:

                 Dado un triángulo rectángulo de hipotenusa 5 cm., cateto adyacente 4 cm. y cateto opuesto 3 cm., entonces las seis razones trigonométricas del ángulo α son:

   A partir de la aplicación de las razones trigonométricas es posible resolver un triángulo rectángulo, es decir, calcular los lados y ángulo desconocidos sabiendo la medida de sólo un lado y un ángulo agudo:

   Ejemplo:

                 Dado un triángulo rectángulo de cateto adyacente 4 cm. y ángulo agudo 37°, se halla la medida de la hipotenusa y del cateto adyacente aplicando las razones trigonométricas apropiadas, mientras que se encuentra el otro ángulo agudo utilizando el teorema de la suma de ángulos interiores:    

   Ejercicios

1) Escribir las 6 razones trigonométricas para el ángulo α.

2) Dado un triángulo rectángulo con cateto opuesto 2 cm. e hipotenusa 5 cm., utilizar el Teorema de Pitágoras para determinar el lado faltante y luego escribir las 6 razones trigonométricas del ángulo α.

3) Calcular las 6 razones trigonométricas del ángulo α.

4) Resolver los siguientes triángulos rectángulos.

5) Para un triángulo rectángulo se han aplicado las razones trigonométricas para hallar un lado desconocido.

    Para cada inciso, mencionar de qué lado se trata y calcularlo.

6) Determinar el valor de x y proporcionar una aproximación.

7) Para un triángulo rectángulo con:

a) Cateto adyacente 4 cm. y ángulo 27°, determinar el cateto opuesto y la hipotenusa.

b) Cateto adyacente 6 cm. y β = 40°, encontrar el cateto opuesto, la hipotenusa y el ángulo α. 

8) Calcular el perímetro de cada una de las siguientes figuras.

9) Si el alcance de iluminación de un poste de luz es de 52 cm. ¿Cuánto medirá dicho poste si se forma un ángulo entre el final de la iluminación y el piso de 28°?

10) Calcular la altura de una torre sabiendo que su sombra mide 13 m. cuando los rayos del sol forman un ángulo de 50° con el suelo.

11) Calcular la altura de una torre si desde una distancia de 50 m. se observa su punto más alto con un ángulo de 48°.

12) Un avión sale y se eleva manteniendo un ángulo de 10°, hasta lograr una altura de 6 km. Determinar a qué distancia del aeropuerto se encuentra en ese momento. 

13) Sabiendo que el hilo de un barrilete, que sujeto a una estaca en el suelo, mide 50 m. de largo y forma con la horizontal un ángulo de 37°, averiguar a qué altura vuela el barrilete. 

14) Se desea sujetar un poste de 20 metros de altura con un cable que parte de la parte superior del mismo hasta el suelo de modo que forme un ángulo de 30°. Calcular el precio del cable si cada metro cuesta $12. 

15) Un carpintero quiere construir una escalera de tijera cuyos brazos, una vez abiertos, formen un ángulo de 60°. Si la altura de la escalera, estando abierta es de 2 m., ¿qué longitud deberá tener cada brazo?

   FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

   Se llama funciones trigonométricas inversas a las funciones inversas de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. Estas funciones trigonométricas inversas son: arcoseno, arcocoseno y arcotangente.

  Para todo triángulo rectángulo, con ángulo agudo α, tenemos las siguientes funciones trigonométricas inversas:

   A partir de la aplicación de las funciones trigonométricas inversas es posible resolver un triángulo rectángulo sabiendo sólo la medida de, al menos, dos lados:

   Ejemplo:

   Dado un triángulo rectángulo de cateto 3 cm. e hipotenusa 5 cm., se halla la medida de los ángulos agudos aplicando las funciones trigonométricas inversas apropiadas, mientras que se encuentra el otro cateto utilizando el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas adecuadas:   

   Ejercicios

1) Resolver los siguientes triángulos rectángulos.

2) Determinar α redondeando, sabiendo que:

a) cos α = 0,3907                             b) tan α = 6,314                               c) sen α = 0,4

3) Hallar el valor de x en los siguientes triángulos rectángulos:

4) Para un triángulo rectángulo con cateto adyacente 1 cm. y cateto opuesto 3 cm., determinar el ángulo β.

5) Uno de los cables que sostienen un poste telefónico mide 8,2 metros de longitud y se fija al piso a 1,45 metros de la base del poste. Determinar el ángulo que forma el cable con el suelo. 

6) Se quiere trasladar una carga mediante una cinta transportadora, a una altura de 10 m. ¿Cuál debe ser el ángulo de inclinación de la cinta si ésta mide 30 m.? 

7) Una escalera de 4 m. está apoyada contra la pared. ¿Cuál será su inclinación si su base dista 2 m. de la pared? 

8) Un árbol de 18 metros proyecta una sombra de 10 metros de largo. ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol?                                                          

9) Un árbol de 96 metros proyecta una sombra de 120 metros de largo. ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol?