NÚMEROS ENTEROS
INTRODUCCIÓN
Al trabajar con las operaciones con números naturales, se vio la
imposibilidad de resolver una sustracción en la que el minuendo es menor que el
sustraendo; así, por ejemplo, dada la diferencia 5 – 9, no existe ningún número
natural que sea el resultado de la misma.
Para poder resolver esta clase de diferencias, se crearon los llamados números
enteros negativos, que se representan por los naturales precedidos por el
signo menos. Asimismo, a los números naturales se los llama también números enteros positivos, e
implícitamente se los considera precedidos por el signo más.
Ejemplos:
2 y 28, que pueden escribirse +2 y +28,
son enteros positivos; -2 y -28 son enteros negativos.
Los enteros negativos, el cero y los enteros positivos (o naturales)
forman el conjunto de los números enteros:
El conjunto
de los números enteros se simboliza Z (inicial de la palabra alemana
zahlen, que significa número) y Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Algo de historia
Los números enteros positivos y negativos, son el resultado
natural de las operaciones suma y resta.
Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad, donde
eran conocidos como números deudos o
números absurdos.
Las primeras manifestaciones del uso de los
números enteros se remontan al siglo V, en oriente. Los chinos utilizaban bastoncillos
de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial,
cálculos comerciales de una manera práctica; esos bastoncillos eran negros o
rojos según que representaran cantidades positivas o negativas.
Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de
números negativos para tratar situaciones similares a la de los chinos.
Los árabes fueron los que dieron a conocer los números
negativos de los hindúes en la
Europa medieval.
El matemático alemán Stifel en el siglo XV fue el que popularizó los símbolos + y - para los enteros positivos y enteros
negativos, respectivamente.
La consideración de las cantidades negativas como correspondientes a
números matemáticamente legítimos recién fue aceptada en el siglo XVIII, cuando
los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los
positivos.
Los números enteros recibieron este nombre,
porque ya sean positivos o negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles
(por ejemplo, personas).
¿Dónde se utilizan los
números enteros?
Los números enteros negativos suelen utilizarse, por ejemplo: para
escribir las temperaturas bajo cero, para indicar los subsuelos de un edificio,
las pérdidas de dinero, las fechas ocurridas antes del nacimiento de Cristo,
etc.
Situaciones reales
! Si una persona tiene un capital de
$280, el número natural o entero positivo 280 representa el dinero que tiene; en cambio, si esa persona tiene una
deuda de $280, su situación económica está por debajo del que no tiene nada,
es decir, de $0 y se interpreta que tiene esa deuda por el número
entero negativo -280.
! En algunos territorios, como la Antártica, el frío es tan intenso que pueden registrarse temperaturas hasta de 50º bajo cero, representado por el entero negativo -50. Por otro lado, hay regiones cálidas, como el Amazonas, donde el calor es tan excesivo que la temperatura alcanza hasta
45º sobre cero, expresado por el número entero positivo 45.
! Pitágoras es un reconocido matemático
que nació en el año 569 antes de Cristo, o sea en el año representado por el
número entero negativo -569. Mientras que Gauss, otro célebre matemático,
nació en el año 1777 después de Cristo, es decir en el año 1777, que se
expresa con un número entero positivo.
Ejercicios
1) Escribir tres ejemplos de
números enteros positivos y tres ejemplos de números enteros negativos.
2) Señalar con una cruz los números
que pertenecen al conjunto Z.
4 1,5 -2,1 -5 ½ 0 7 -45
3) Escribir con números enteros
positivos o negativos estas expresiones:
a) El club perdió $1500. e) La marea está 1 metro por debajo del
nivel del mar.
b) Hace 6º bajo cero. f) El avión vuela a 1000 metros de altura.
c) El 8º piso del edificio. g) Augusto nació en el año 63 a . C.
d) El 3º subsuelo del edificio. h) Colón llegó a América en el año 1492 d. C.
4) Describir una situación real a la
que se le pueda asignar el número: a) -5; b) -12.
REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA
Los números enteros pueden ser representados gráficamente en una recta,
llamada recta numérica.
Para representarlos pueden seguirse estas ayudas:
! Se ubica el cero.
! Se elige una distancia entre dos
números enteros consecutivos.
! Se representan los negativos a la
izquierda del cero y los positivos a la derecha.
Ejercicios
1) a) Representar en una recta
numérica los números -5 y 5.
b) Escribir con rojo los números
enteros entre -5 y 0.
c) Escribir con azul los números
enteros entre 5 y 0.
2) Colocar los siguientes números en
la recta numérica: 7; -5; 8; 6; -4; -1; -7; 1
3) Observar la siguiente recta numérica. Han olvidado colocar el 0.
¿Dónde va?
4) Ubicar en la recta numérica los
siguientes números enteros: 0; 1; -1; 2; -3; -5; 7; 3; 6; -4
5) Dados los números enteros: -3; +3;
-2; +1; -5
a) Representarlos en la recta
numérica.
b) ¿Cuál está más alejado de 0?
c) ¿Cuál está más cerca de 0?
d) ¿Cuántas unidades hay entre los
números -5 y +3?
6) Representar en la recta numérica utilizando una escala apropiada.
a)
-20; 30; 10; -50 b) -15; -45; 5; 25
ORDEN
El conjunto de los números enteros es ordenado, es decir, dados dos
números enteros a y b, debe ocurrir necesariamente una y
sólo una de las tres posibilidades siguientes:
1) a = b (a es igual a b).
2) a > b (a es mayor a b o b es menor a a).
3) a < b (a es menor a b o b es mayor a a).
A partir de su representación en la recta numérica, se puede decir
cuándo un número entero es mayor o menor que otro.
Ejemplo:
3 es mayor a -4 (en símbolos 3 >
-4), porque se encuentra a la derecha de éste último número.
O bien, -4 es menor a 3 (-4 < 3), porque
se encuentra a la izquierda del mismo.
Importante
! Si tenemos dos números enteros
positivos es mayor el que está más alejado de cero.
! Si tenemos dos números enteros, uno
positivo y uno negativo, es mayor el entero positivo.
! Si tenemos dos números enteros
negativos es mayor el que está más cerca de cero.
! Cero es menor que cualquier entero
positivo.
! Cero es mayor que cualquier entero
negativo.
Ejercicios
1) Escribir el signo < ó > según corresponda:
a) -2 ……… -6 c) -2 ……… 4 e) 5 ……… 12 g) 4 ……… -8 i) 7 ……… 10
b) -5 ……… 0 d) -10 ……… -8 f) 11 ……… 0 h) -16 ……… 20 j)
3 ……… -3
2) Completar esta tabla.
El mayor es
|
El menor es
|
|
-11; 17;
-21
|
||
13; 27; 18
|
||
-29; -26;
-35
|
||
41; -16; 9
|
3) Ordenar de menor a mayor los
siguientes números enteros:
a) 9; 8; -3; -2; 0; 1; -10 c)
-1; -3; 5; 4; 2; -8; -12; -20; -75
b) 1; -1; 2; -2; 6; -7; -5; -4 d) 5; -2; 3; 4; 9; 0; -1; -15; -7; -8; -3
4) Ordenar de mayor a menor los
siguientes números enteros:
a) -5; 9; 4; 0; 6; -2; -16; 10 b) 8; -7; 6; -8; -3; 5; 0; 20; -50
VALOR ABSOLUTO
Se llama valor absoluto o módulo de un número entero a la distancia que existe entre ese número y el cero.
Se llama valor absoluto o módulo de un número entero a la distancia que existe entre ese número y el cero.
Ejemplos:
La distancia entre -4 y 0 es 4,
entonces el valor absoluto de -4 es 4. Simbólicamente |-4| = 4, que se lee
“valor absoluto de -4 es igual a 4” .
La distancia entre 3 y 0 es 3, entonces el valor absoluto de 3 es 3.
Simbólicamente |3| = 3, que se lee “valor absoluto de 3 es igual a 3” .
Ejercicios
1) Calcular:
a) |-7| = b) |-5| = c) |+12| = d) |-23| = e) |-17| = f) |+25| =
2) Completar con >, < ó = según
corresponda:
a) |-9| …… |9| b) -5 …… |5| c) |-7| …… 7 d) |-6| …… |-15| e) |-6| …… |-16|
3) Completar.
a) El valor absoluto de -1 es ...... b) El valor absoluto de 0 es ......
4) Colocar V si la afirmación es
verdadera y F si es falsa.
El valor absoluto de un número
entero siempre es positivo o cero.
OPUESTO
Dos números son opuestos cuando tienen el mismo valor absoluto y
distinto signo.
Ejemplo:
4 y -4 son números opuestos (porque
|-4| = |4| = 4)
Ejercicios
1) Completar.
Número
|
-17
|
3
|
|-5|
|
17
|
21
|
-36
|
|8|
|
-9
|
30
|
|-1|
|
Opuesto
|
2) Completar.
El opuesto de -3 es ......
3) Colocar V si la afirmación es
verdadera y F si es falsa.
El opuesto de un número entero
negativo es negativo.
gracias por compartir información sobre los números enteros
ResponderBorrarGracias por tu comentario Diego. Espero que te haya resultado útil la información.
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