Números Enteros

NÚMEROS ENTEROS

   OPERACIONES

 

   SUMA

!      Cuando sumamos enteros de igual signo, dichos enteros se suman y el resultado conserva el signo.

!   Cuando sumamos enteros de distinto signo, dichos números se restan y el resultado lleva el signo del sumando de mayor valor absoluto.

      Resumiendo:

Sumandos	Procedimiento	Resultado	En símbolos	Ejemplo
Positivo y positivo	Sumar	Positivo	(+) + (+) = +	(+4)+ (+5) = +9
Negativo y negativo	Sumar	Negativo	(-) + (-) = -	(-1) + (-1) = -2
Positivo y negativo	Restar	El signo depende del sumando mayor	(+) + (-) =	(+10)+ (-6)= +4
Negativo y positivo			(-) + (+) =	(-2) + (+1) = -1

   Para tener en cuenta: cuando delante de un paréntesis tenemos un signo + correspondiente a una suma, podemos eliminar dicho paréntesis y el signo +, y los números que se encuentran dentro de ese paréntesis no cambian su signo. Por lo tanto, es lo mismo, por ejemplo:

                               (-2) + (+1) = -2 + 1                                  (+10) + (-6) = 10 - 6 

   Propiedades de la adición

!   Ley de cierre: La adición de números enteros es otro número entero. Ejemplo: 2 + (-4) = -2.

!   Propiedad asociativa: La suma es la misma si se agrupan los sumandos de distintas maneras. Ejemplo: [2 + (-4)] + 3 = 2 + [-4 + 3] = 1.

!   Propiedad conmutativa: La suma de dos o más números enteros no se altera si cambiamos el orden de los sumandos. Ejemplo: 2 + (-4) = -4 + 2 = -2.

!   Elemento neutro: Si a un número entero le sumamos a derecha o a izquierda el número cero, obtenemos el mismo número. El número 0 se denomina elemento neutro en la adición. Ejemplo: -4 + 0 = 0 + (-4) = -4.

!   Elemento opuesto (o inverso aditivo): Para todo número entero, existe otro número entero, tal que la suma entre ellos es el elemento neutro de la adición. Ejemplo: 4 + (-4) = -4 + 4 = 0.

   ¿Cómo resolver ejercicios que incluyan más de una suma?

   Para sumar varios números enteros, como por ejemplo -4 + (+7) + (+9) + (-2) + (-1), se puede proceder de distintas maneras:

1º Procedimiento	2º Procedimiento
Se realiza la suma término a término.	Se suman los sumandos positivos por una parte y los negativos por otra, y luego se suman los resultados de esas dos sumas parciales.
-4 + (+7) + (+9) + (-2) + (-1) = = 3 + (+9) + (-2) + (-1) = 12 + (-2) + (-1) = 10 + (-1) = 9	-4 + (+7) + (+9) + (-2) + (-1) = = (7 + 9) + (-4 - 2 - 1) = 16 + (-7) = 9

   Ejercicios 

1) Vilma, Daphne, Fred y Shaggy reciben de sus respectivos padres todos los fines de semana dinero para sus gastos semanales de la escuela.

   La última semana de clases la señora que atiende el kiosco registró en su libreta contable lo siguiente: 

a) Completen los cálculos que hizo la kiosquera y coloquen los totales en la libreta contable.

Vilma:   (-1) + (-1) =          Daphne:   (-2) + (+1) =        Fred:   (-3) + (-3) + (+10) =

b) Shaggy estuvo toda la semana enfermo y no asistió a la escuela, pero su mamá previamente le había dado $4 el sábado y $5 el domingo. ¿Cuál es el cálculo que permite determinar cuánto dinero tiene?

2) Sumar los enteros.                                     

a) -3 + 4 =                                         j) (+4) + (-2) =                           r) (+7) + (-1) =

b) (+6) + (-2) =                                  k) (-6) + (+7) =                          s) (+7) + (-7) = 

c) (-2) + (+6) =                                  l) (-8) + (+9) =                           t) (-5) + (-4) =  

d) (+1) + (+9) =                                 m) (-9) + (+6) =                         u) (-4) + (+9) =
e) (-6) + (+3) =                                  n) (-7) + (+9) =                          v) (+8) + (-5) = 
f) (-3) + (+2) =                                   ñ) (-4) + (-7) =                           w) (+7) + (-6) =
g) (-4) + (+1) =                                  o) (+6) + (-4) =                          x) (-6) + (-9) =
h) (+8) + (+7) =                                 p) (-1) + (-6) =                           y) (-9) + (+5) =
i) (+4) + (-7) =                                   q) (-8) + (-7) =                           z) -380 + 500 =

3) Completar sumando el número que indica cada flecha.             

4) Completar la serie.

                                     -100 + 10 = .......      + 9 = .......          + 8 = .......

5) Citar el nombre de la propiedad que se muestra en cada una de las siguientes expresiones:

a) -9 + (7 + 6) = (-9 + 7) + 6                                  b) 12 + (-12) = 0

6) Efectuar las siguientes sumas:

a) (+6) + (-8) + (+2) =               d) 99 + 23 + (-82) =                    g) -14 + (-6) + 15 + 7 = 

b) (-11) + (-9) + (+16) =            e) (+205) + (+415) + (+98) =      h) 5 – 9 – 18 + 10 + 4 =    

c) 12 + (-3 + 10) =                    f) (+3) + (-7) + (-6) + (+17) =       i) -8 + (4 – 7 + 3 – 1) =

7) Resolver las siguientes sumas de números enteros y luego, según los resultados obtenidos, colorear la imagen de Scooby y Shaggy.

                                                                           Referencias

a) (+10) + (-9) + (-5) + (-3) + (+13) =                   VERDE

b) (-7) + 0 + (+4) + (-4) =                                    MARRÓN

c) (+3) + (-1) + (+4) + (-9) =                                  ROJO

d) (+1) + (-2) + (+9) + (-13) + (-8) =                      AZUL

e) (+4) + (-4) + (+1) + (+12) =                           AMARILLO

f) (-10) + (+2) =                                                    NEGRO

g) (-8) + (-1) =                                                     ROSADO

h) (-9) + (+20) =                                                  CELESTE                                         

8) Expresar cada una de las siguientes situaciones con una suma y resolverlas.

a) Le debía $5 a mi hermanito y mi abuela me regaló $10.

b) El mes pasado encontré $4, pero ayer perdí $2.

c) Nació en el año 123 a. C. y vivió 67 años.

d) Un submarino se encuentra a 100 metros de profundidad y asciende 55 metros.

9) Resolver los siguientes problemas planteando previamente las operaciones con números positivos y negativos, según corresponda

a) Buceando, Shaggy se encontraba a 1 metro bajo el nivel del mar. Si luego desciende 6 metros, ¿a qué profundidad estará?

b) Sócrates, filósofo griego, nació en el año 470 a. C. y murió 69 años más tarde. Calcular el año de su muerte.

c) Scooby y la pandilla deciden tomarse un día de descanso durante el invierno y disfrutar en una estación de esquí. Durante la jornada el termómetro registró las siguientes temperaturas: marcó 14º bajo cero a las 8 de la mañana; al mediodía la temperatura había subido 10º y a las 19 hs. había bajado 5º respecto al mediodía. ¿Cuál era la temperatura a las 19 hs.?

   RESTA

!      Para restar dos números enteros, sumamos al minuendo el opuesto del sustraendo.

    Ejemplos:

                               6 - (-3) = 6 + 3 = 9                  11 - (+15) = 11 - 15 = -4

                               -5 - (-19) = -5 + 19 = 14          -8 - (+14) = -8 - 14 = -22

   Para tener en cuenta: cuando delante de un paréntesis tenemos un signo - correspondiente a una resta, podemos eliminar dicho paréntesis y el signo -, y los números que se encuentran dentro de ese paréntesis si cambian su signo. Por lo tanto, es lo mismo, por ejemplo: 

                               (-2) - (-1) = -2 + 1                                  (+10) - (+6) = 10 - 6  

    Propiedad de la sustracción

!   Ley de cierre: La sustracción de números enteros es otro número entero. Ejemplo: -5 – (-3) = -2.

   ¿Cómo resolver sumas algebraicas?

   Una suma algebraica es un ejercicio combinado de sumas y restas.

   Puede haber de dos tipos: con paréntesis o sin ellos.

!   Sumas algebraicas sin paréntesis

   Ejemplo:

                      -17 – 8 + 21 – 3 + 14 =

                  =  (-17 – 8 –3) + (21 + 14)      agrupar los números de igual signo y resolver.

                  = -28 + 35                               operar con estos resultados parciales.

                  = 7

!   Sumas algebraicas con paréntesis

   Ejemplos:

                      3 – (-3) + (-4) =   suprimir los paréntesis de esta forma: los paréntesis      

                   = 3 + 3 – 4              que están precedidos por una suma (+) se eliminan y  

                   = 6 – 4                    los términos que están dentro quedan con el signo que  

                   = 2                          llevaban; los paréntesis que están precedidos por una 

                                                  resta (–) se eliminan y cambia el signo de los términos 

                                                  que encerraban. 

                      -4 – (5 – 1) + 12 = resolver las operaciones que están en los paréntesis.

                   = -4 – (+4) + 12        quitar paréntesis según lo visto en el ejemplo anterior. 

                   = -4 – 4 + 12             agrupar los números de igual signo y resolver.

                   = 4

 Ejercicios 

1) Durante un viaje por Argentina que hicieron Scooby y la pandilla en las vacaciones de julio, Vilma registró las siguientes temperaturas máximas y mínimas de distintas ciudades que visitaron:

   Teniendo en cuenta que se llama amplitud térmica a la diferencia entre la temperatura máxima y la mínima, completar la tabla confeccionada por Vilma con las amplitudes térmicas que faltan.

2) Resolver las siguientes restas con paréntesis.

a) -3 – (-2) =                       e) 2 – (-9) =                       i) (-45) – (-75) =                       

b) -5 – (-10) =                     f) 8 – (-15) =                      j) (-50) – (+70) =                

c) -8 – (-2) =                       g) 90 – (-60) =                   k) -200 – (-100) = 

d) -10 – (-15) =                   h) (+5) – (+3) =                  l) -450 – (-125) =  

3) Resolver las siguientes operaciones sin paréntesis.

a) 3 – 2 =               c) -3 – 2 =                e) +2 – 8 =              g) -430 – 30 =                        

b) 3 – 4 =               d) -5 – 4 =                f) -3 – 10 =             h) -243 – 18 =

4) Decidir si es cierta o falsa la siguiente afirmación:

‘La resta es conmutativa para el conjunto de los números enteros.’

5) Hallar el resultado de cada una de las sumas algebraicas siguientes, suprimiendo previamente los paréntesis, según sea el caso.

a) 8 + 2 – 11 =                                                 d) (+1) + (-4) – (+8) – (-9) + (-4) = 

b) 15 + 7 – 40 + 8 – 32 =                                 e) -21 + (8 – 6 – 3) – (4 – 6) =    

c) (-2) – (+7) – (-4) + (+8) =                             f) 1 + (8 – 1 – 5) – (3 – 10) =

6) Resolver las siguientes restas combinadas y con el resultado encontrarás el nombre de estos familiares de la pandilla de Scooby Doo. Luego, colorear.

                                                                 Referencias

a) (-14) – (-3) – (-17) =                          SCRAPPY DOO

b) (-16) – (-9) – (-7) =                             NAN BLAKE

c) (+18) – (-5) – (-18) =                      COLTON ROGERS

d) (-21) – (-16) – (-14) =                     ANGIE DINKLEY

e) (-32) – (-19) – (-11) =                          YABBA DOO

f) (-49) – (-21) – (+12) =                      PAULA ROGERS

g) [(-14) – (-10)] – [(-16) – (+8)] =        JUDDY REEVES

h) [(-18) – (+6)] – [(+18) – (-4)] =         BARTY BLAKE

i) [(-19) – (-4)] – [(-18) – (-6)] =       MADELYN DINKLEY

7) Plantear con números enteros positivos y negativos y luego resolver.

a) El termostato de la heladera de Shaggy está fijado a una temperatura de 4º. Después de sufrir un daño la temperatura que registra es de 19º bajo cero. ¿Cuántos grados se movió el termostato?

b) Vilma está en el 7º piso de un edificio y debe bajar hasta el 4º subsuelo. ¿Cuántos pisos debe bajar?

c) La ciudad de Roma fue fundada en el año 754 antes de Cristo, y en el año 800 después de Cristo fue coronado Carlomagno. ¿Cuántos años transcurrieron entre estos dos hechos?

d) La ciudad de Alejandría fue fundada en el año 332 a. C. En ella se construyó en el año 283 a. C. el famoso Faro de Alejandría. ¿Cuántos años después de su fundación se construyó el faro?

   

   MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

   Multiplicación

   La multiplicación es una forma abreviada de la adición de números iguales:

                   6 + 6 + 6 = 3.6 = 18

                    (-6) + (-6) + (-6) = 3.(-6) = -18

   Además, como la multiplicación cumple la propiedad conmutativa:

                                                                   3.(-6) = (-6).3 = -18

   Un razonamiento un poco más complejo que implica aplicar otras propiedades de la multiplicación que ya estudiaremos, nos permite obtener:

                                                                       (-3).(-6) = 18

   División

   Por otra parte, como la división es la operación inversa de la multiplicación tenemos:

               18:(-3) = -6   porque   (-3).(-6) = 18            

       8:3 = -6    porque      3.(-6) = -18

   De lo anteriormente expuesto concluimos:

!      Cuando multiplicamos o dividimos enteros de igual signo, el resultado es positivo.

!      Cuando multiplicamos o dividimos enteros de distinto signo, el resultado es negativo.

      Resumiendo:

   El cero en la división

   Cuando el cero aparece en el dividendo y/o en el divisor se dan los siguientes casos particulares:

!      0 dividido cualquier número (distinto de 0) es 0.

!      0:0 es indeterminado.

!      La división de cualquier número (distinto de 0) dividido 0 no tiene solución.

   Ejercicios 

1) Efectuar las multiplicaciones y divisiones siguientes:

a) (-1).(-18) =                              e) (+12).(-3) =                      i) (-20):(-10) = 

b) (-5).(+5) =                               f) (-9).(+30) =                       j) (+80):(-8) = 

c) (-9).(+8) =                               g) (-1):(+1) =                        k) (-77):(-11) =

d) (+10).(+4) =                            h) (-9):(+3) =                        l) (-2).(+3).(+4).(-1) =