ECUACIONES CUADRÁTICAS
INTRODUCCIÓN
Una ecuación cuadrática (o de segundo
grado) es una ecuación de la forma
ax² + bx + c
= 0, donde a (a ≠ 0), b y c son números reales.
Ejemplos: 10x² + x + 2 = 0 6x² - 3x = 0 x + 4 + x² = -3 + 5x²
En una ecuación cuadrática cada término recibe un nombre:
A diferencia de las
ecuaciones lineales, para las ecuaciones cuadráticas siempre existen dos
valores de la incógnita que son solución de la ecuación. Estas
soluciones pueden ser de tres clases:
§ Soluciones reales distintas.
§ Soluciones reales iguales.
§ Soluciones complejas conjugadas.
Resolución
El método apropiado para resolver una
ecuación cuadrática depende de si ésta está completa o incompleta.
ECUACIONES CUADRÁTICAS INCOMPLETAS
Una ecuación cuadrática está incompleta si alguno de los términos lineal o
independiente, o ambos, son iguales a cero.
Ejemplos:
Las soluciones obtenidas para la primera y
la tercera ecuación se clasifican como soluciones reales distintas, mientras
que en la segunda ecuación se han encontrado soluciones complejas conjugadas.
Luego de encontrar las soluciones, si se
desea, puede hacerse la verificación. Realizaremos la de las dos últimas
ecuaciones a modo ilustrativo:
Ejercicios
Resolver las
siguientes ecuaciones.
1)
x² - 36 = 0 2)
x² + 8x = 0
3)
x² - 40 = 9 4)
2x² - 8 = 0
5)
1 - 9x² = 0 6)
2x² - 400 = 0
7) 3x² + 2x = 0 8)
16x² - 50x = 0
9) 2/5x - 4x² = 0 10) x² + 36 = 9 - 2x²
Clasificar las
soluciones obtenidas.
ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETAS
Fórmula resolvente
Cuando
una ecuación cuadrática está completa los coeficientes b y c
también son distintos de cero y la resolución -salvo que se trate de un trinomio
cuadrado perfecto y pueda factorizarse- ya no resulta nada sencilla.
Por esta razón los matemáticos de la
antigüedad, a través de otras técnicas más complejas que las que conocemos
para trabajar con ecuaciones, lograron desarrollar una fórmula eficiente que
permite hallar las soluciones de cualquier ecuación cuadrática de la
forma ax² + bx + c = 0 en términos de
los coeficientes a, b y c.
Esta fórmula se conoce como fórmula resolvente:
en
la que la expresión b² - 4.a.c
recibe el nombre de discriminante
de la ecuación cuadrática.
Ejemplo 1:
x² - 5x + 6 = 0
Determinamos los coeficientes de los
términos de la ecuación: a = 1, b = -5 y c = 6
Reemplazamos en la fórmula resolvente:
Resolvemos las
operaciones planteadas:
Las soluciones obtenidas son reales
distintas.
Verificamos:
x² - 5x + 6 = 0
3² - 5.3 + 6
= 0 2² - 5.2 + 6 = 0
9 - 15 + 6
= 0 4 - 10 + 6 = 0
0 = 0 0
= 0
Ejemplo 2:
-x² + 2x - 5 = 0
Identificamos los coeficientes de los
términos de la ecuación: a = -1, b = 2 y c = -5
Sustituimos en la fórmula resolvente:
Resolvemos
las operaciones que aparecen:
Las soluciones encontradas son complejas
conjugadas.
Verificamos:
-x² + 2x - 5 = 0
-(1 - 2i)² + 2.(1 - 2i) - 5 = 0
-(1 + 2i)² + 2.(1 + 2i) - 5 = 0
-(1 - 4i + 4i²) + 2 - 4i - 5 = 0 -(1 +4i + 4i²) + 2 + 4i - 5 = 0
-(1 - 4i + 4.(-1)) + 2 - 4i - 5 = 0 -(1 + 4i + 4.(-1)) + 2 + 4i - 5 = 0
-(1 - 4i - 4) + 2 - 4i - 5 = 0 -(1 + 4i - 4) + 2 + 4i - 5 = 0
-(-3 - 4i) + 2 - 4i - 5 = 0 -(-3 + 4i) + 2+ 4i - 5 = 0
3 + 4i + 2 - 4i - 5
= 0 3 - 4i + 2 + 4i - 5
= 0
0 = 0 0 = 0
Algo de historia
Desde tiempos remotos el planteamiento de ecuaciones responde a la
necesidad de expresar simbólicamente los problemas y los pensamientos.
Los primeros que resolvieron ecuaciones
cuadráticas fueron los babilonios. En unas tablillas descifradas por
Neugebaveren en 1930, cuya antigüedad es de unos 4000 años, se encontraron
soluciones, siempre positivas, a varias
de estas ecuaciones de tipo x² - bx = c, empleando el método conocido actualmente como
“completar el cuadrado”. El trabajo de los babilonios constituyó un logro
notable, teniendo en cuenta que no contaban con la notación moderna y por su
alto nivel de abstracción.
Los conocimientos de los babilonios fueron adoptados luego por los
egipcios. Gracias al papiro Rhind de esta cultura, uno de los más
antiguos documentos que se conocen, sabemos que ya en el siglo XVI a. C. los egipcios podían
resolver cierto tipo de ecuaciones de segundo grado. En él se
encuentran problemas algebraicos de gran relevancia para el desarrollo de las
ecuaciones.
En Grecia en el siglo III, el matemático Diofante de Alejandría aportó en su libro
Aritmética un procedimiento para resolver ecuaciones cuadráticas, aunque su
método sólo proporcionaba una de las soluciones, incluso en el caso de que las
dos soluciones sean positivas. Fue uno de los primeros matemáticos en utilizar
símbolos para representar las ecuaciones. Designó la incógnita con un signo que
es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número.
La primera solución completa la desarrolló el matemático persa Al-Juarismi (o Al-Khwarizmi según la fuente), en el siglo IX en su trabajo Compendio de cálculo por reintegración y comparación, cerrando con ello un
problema que se había perseguido durante siglos.
Basándose en el trabajo de Al-Juarismi, el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, introdujo en el siglo XII en Europa la solución de las
ecuaciones de segundo grado. En su Liber Embadorum discute
la solución de estas ecuaciones.
La fórmula resolvente, tal y como se la conoce, parece ser obra del
matemático hindú Bhaskara (1114-1185). En su famoso libro “Siddhanta Siroman”
del año 1150, muestra aportes de matemáticos anteriores y desarrolla la
resolución de ecuaciones, siendo aquí donde aparece la fórmula general que
permite resolver una ecuación de segundo grado.
En el
Renacimiento al intentar resolver la ecuación x² + 1 = 0,
que requiere hallar un número real cuyo cuadrado sea -1, se completó el
estudio de las ecuaciones de segundo grado con la construcción de los números
imaginarios y la invención de la unidad imaginaria i,
definida mediante la igualdad i² = 1.
Como se ve, llegar a
encontrar la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo grado, es
decir, una ecuación de la forma ax² + bx + c = 0 donde a, b, c pueden ser números
cualesquiera, fue un
proceso arduo a través del tiempo donde influyeron matemáticos de diversas
culturas.
Ejercicios
1) Resolver las siguientes ecuaciones.
a) x² - 2x - 3 = 0 b) x² - 4x + 4 = 0
c) x² -6x + 8 = 0 d) x² + x - 2
= 0
e) x² + x - 6
= 0 f) x² - 2x - 15 = 0
g) 2x² - 2x + 5 = 0 h) 4x² + 12x + 9 = 0
i) 4x² - 12x + 9
= 0 j) 10x² - 7x + 1 = 0
k) x² + x = 12 l) 2000x² + 1000x - 3000 = 0
m) x² - 2x - 4 = 0 n) 9x² + 1x - 1 = 0
ñ) 2 - 4x - x² = 0 o) x² + ½x – ½ = 0
p)
x² + x + 4 = 0 q) -x² + 4x - 7 = 0
2) Usar
el discriminante para describir las soluciones como: números reales iguales,
números reales distintos, dos números complejos conjugados.
a)
x² - 8x + 16 = 0 b) x² - 8x + 12 = 0 c)
3x² + 2x - 4 = 0
d) 2x² - x + 4 = 0 e) 4x²
- 12x + 9 = 0 f) 2x - 4x² = 1
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