NÚMEROS COMPLEJOS
INTRODUCCIÓN
Al estudiar el conjunto de los números reales nos encontramos que √-1 no
pertenece a dicho conjunto, pues no existe ningún número real cuyo cuadrado
sea -1.
Sin embargo, a excepción de la división
por 0 y la potenciación 0° (que no están definidas), todas las demás operaciones tienen un resultado numérico que pertenece a
uno o más conjuntos, por lo tanto esta raíz ha de pertenecer a un conjunto
que hasta el momento nos es desconocido.
Números Imaginarios
Las raíces cuadradas cuyos radicandos son números reales negativos dan
origen al conjunto de los números Imaginarios.
√-1 es
la unidad de este nuevo conjunto númerico. El símbolo i, llamado unidad imaginaria,
se usa para representarlo y se define:
√-1 = i (unidad imaginaria) e
i² = -1
Se denomina número
imaginario (o número
imaginario puro) al producto de un número real e i (la unidad imaginaria).
Son ejemplos de ellos: 7i, ‒½i, √2i.
El conjunto de los números Imaginarios se simboliza I (esto es así porque el conjunto de los números Irracionales
también puede denotarse Q* si
trabajamos más allá del conjunto de los números Reales).
¿Cómo hallar un número imaginario?
Dada una raíz cuadrada de un número
real negativo, es posible hallar el número imaginario correspondiente
utilizando propiedades de radicación y la definición de unidad imaginaria.
√-4 = √4.(-1) = √4.√-1 = 2i √-16 = √16.(-1) =
√16.√-1 = 4i
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
La suma de un número real y un número imaginario puro se llama número complejo.
Un número complejo tiene la forma a + bi, siendo a y b números reales. El número real a es la parte real de a + bi, y que el número real b es la parte imaginaria. Son ejemplos de ellos: 2 + 3i; 3 – 7i.
El conjunto de los números Complejos, que se simboliza C, está formado por todos los números
reales (porque cualquier número real a se puede expresar como a = a + 0i) y
todos los números imaginarios (ya
que cualquier número imaginario bi se puede denotar como bi = 0 + bi).
Algo de historia
La palabra imaginario define
algo que no es real, que sólo existe en nuestra mente. Sin embargo, dentro de
la Matemática el conjunto de los números Imaginarios, unos números desde la
antigüedad en apariencia de existencia imposible, han terminado siendo una
herramienta útil para ciencias que hoy en día llevan sus modelos irreales a la
realidad de la vida cotidiana.
La primera mención de
números imaginarios, aunque como raíces cuadradas de números negativos, se
remonta a la época de antes de Cristo, cuando el egipcio Herón de Alejandría
estudiaba el volumen de un tronco de pirámide. Al no poder calcular este tipo
de raíces consideró que el problema era de solución imposible. Algo similar le
sucedió años más tarde a su compatriota Diofanto de Alejandría intentando
resolver una ecuación donde halló una raíz cuadrada de un número negativo.
Los números imaginarios formalmente nacieron
en el siglo XVI, en el contexto del estudio de ecuaciones polinómicas, como x²
+ 1 = 0, que no tenían solución real. Fue el italiano Girolamo Cardano quien en
1545 evaluaría a la raíz cuadrada de -1 como la unidad imaginaria, aunque no
quedaría satisfecho con esta idea por la dificultad de trabajar con estos
números.
En ese mismo siglo, pero unos años después,
otro italiano, Raffaelle Bombelli, estudió el trabajo con números imaginarios y
desarrolló reglas para la operatoria, dando origen al conjunto de los números Complejos. Inicialmente su teoría no fue muy tenida en cuenta, ya que nadie
encontraba un uso para esta clase de números.
El francés René Descartes en 1637 sostuvo que toda ecuación debía tener
soluciones aunque algunas podrían no ser reales. A esta clase de soluciones las
bautizó despectivamente números imaginarios, pues se
oponía a las teorías de Bombelli.
Éste fue el hecho que le dio el
fortalecimiento que el tema necesitaba, teniendo su auge pleno en el siglo
XVIII. En el año 1777,
Leonhard Euler le dio el nombre de i a la unidad imaginaria √-1, dando a entender que no tenían una existencia real.
A partir de ahí, otros matemáticos de renombre como John Wallis, Carl
Gauss, Abraham de Moivre, Jean-Robert Argand, ayudaron a ampliar el estudio de
este nuevo conjunto, que permitiría extender el conjunto de los números reales
al conjunto de los números Complejos, donde se combinan números reales con
números imaginarios, llevando a encontrarse muchos usos prácticos para ellos a
partir del siglo XX para resolver problemas reales que de otra forma nunca
hubieran tenido solución.
¿Dónde se utilizan los números complejos?
Los números complejos tienen una gran importancia en muchas áreas, ya
que pueden ser aplicados a modelos irreales que luego son llevados a aparatos
de la vida real, esto incluye campos de la ingeniería, especialmente la
electricidad, y dentro de ella la electrónica de corriente
alterna; también se utilizan en telecomunicaciones para el procesamiento de
señales de radio, televisión, internet, celulares, tecnologías inalámbricas,
radares y otros; dentro de la física cuántica, se los considera fundamentales
para estudiar y comprender cómo habría comenzado el universo.
Ejercicios
1) Expresar como número
imaginario.
2) Completar la tabla.
3) ¿Cuáles de las siguientes
afirmaciones son verdaderas?
a) Todo número entero se puede
escribir de la forma a + bi, siendo i = √-1.
b) Todo número real es un número
complejo.
c) Todo número complejo se puede expresar en forma de número irracional.
OPERACIONES: SUMA Y RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS
Suma
La suma de dos o más números
complejos se realiza sumando por separado sus partes reales y sus partes
imaginarias.
Ejemplos:
(2 +
3i) + (5 + 7i) = (-5 + 3i) + (-5 – 7i) =
= (2 + 5) + (3i +
7i) =
(-5 – 5) + (3i – 7i)
= 7 + 10i = -10 – 4i
Resta
De una forma similar a la suma, la resta de dos números complejos se
realiza restando por separado sus partes reales y sus partes imaginarias.
Ejemplos:
(8 +
5i) – (3 + 2i) = (-2 – 5i)
– (5 – 7i) =
= (8 + 5i) + (-3 – 2i)
= = (-2 –
5i) + (-5 + 7i)
= (8 – 3) + (5i –
2i) = (-2 – 5) + (-5i + 7i)
= 5 + 3i = -7 + 2i
Ejercicios
1) Efectuar las operaciones
indicadas, y simplificar cuando sea posible.
a)
(8 + 5i) + (2 + 6i) = b) (3
– 2i) + (6 – 4i) =
c)
(2 + 4i) + (-8 + 3i) =
d)
(3 + 4i) + (-1 – 6i) =
e)
(1 + ½i) + (-¼ + ½i) = f) (5 – 8i) – (5 + 7i) =
g)
(7 – 2i) – (5 – 9i) = h)
(-2 + 5i) – (3 – 2i) =
i)
(-19 + 7i) – (29 + 32i) = j) (⅔ – ½i) – (-⅓ + ½i) =
2)
Realizar las siguientes sumas y restas combinadas.
a)
(7 + 2i) + (-4 +5i) – (1 – i) =
b)
(10 – 8i) + (15 – 6i) + 3 =
c)
(3 – 5i) – (-6 + 8i) + (-12 – 9i) =
3)
a) Calcular m y n para que se verifique la siguiente igualdad: (2 + mi) + (n + 5i) = 7 – 2i.
b)
Si se tienen los números z1 =
a + 5i, z2 = 7 + bi y z3
= 10 – 4i, ¿cuál es el valor de a y b
si z3 = z1 + z2?
MULTIPLICACIÓN
La multiplicación de dos números
complejos se realiza de manera similar a la de dos binomios, aplicando la
propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma, y luego utilizando
la definición de unidad imaginaria.
Ejemplos:
(3 + 2i).(5 + 6i)
=
(-5 + 6i).(-6 – i) =
= 3.5 + 3.6i + 5.2i +
2i.6i = -5.(-6)
– 5.(-i) – 6.6i + 6i.(-i)
= 15 + 18i + 10i + 12i2 = 30 + 5i – 36i – 6i2
= 15 + 18i + 10i +
12.(-1) = 30 + 5i – 36i – 6.(-1)
= 15 + 18i + 10i – 12 = 30 + 5i –
36i + 6
= 3 + 28i = 36 – 31i
Ejercicios
1) Efectuar las multiplicaciones
indicadas.
a)
(2 – 5i).(3 + 2i) = b)
(-3 + 4i).(2 – i) =
c)
(5 – 3i).(-2 + 4i) = d) (5 – 3i).(-4 – 7i) =
e)
5i.(2 – i) =
f) (2 + i).(2
– i) =
g)
(-3 + 4i).(-3 – 4i) = h) (½ –
⅓i).(⅓ + ½i) =
i)
(1 + 2/7i).(4/5
+ ½i) = j) (3
– 4i)2 =
2)
Realizar las operaciones combinadas.
a)
(1 + i).(2 + 2i).(3 – i) =
b) (2 + 3i)3
=
c) 3i.(2 – 5i) + (6 – 8i)2 =
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