Números Enteros

NÚMEROS ENTEROS

   INTRODUCCIÓN

   Al trabajar con las operaciones con números naturales, se vio la imposibilidad de resolver una sustracción en la que el minuendo es menor que el sustraendo; así, por ejemplo, dada la diferencia 5 – 9, no existe ningún número natural que sea el resultado de la misma.

    Para poder resolver esta clase de diferencias, se crearon los llamados números enteros negativos, que se representan por los naturales precedidos por el signo menos. Asimismo, a los números naturales se los llama también números enteros positivos, e implícitamente se los considera precedidos por el signo más.

    Ejemplos:

                    2 y 28, que pueden escribirse +2 y +28, son enteros positivos; -2 y -28 son enteros negativos.

    Los enteros negativos, el cero y los enteros positivos (o naturales) forman el conjunto de los números enteros:

   El conjunto de los números enteros se simboliza Z (inicial de la palabra alemana zahlen, que significa número) y Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} 

   Algo de historia

   Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad, donde eran conocidos como números deudos o números absurdos.

   Las primeras manifestaciones del uso de los números enteros se remontan al siglo V, en oriente. Los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas.

   Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos para tratar situaciones similares a la de los chinos.

   Los árabes fueron los que dieron a conocer los números negativos de los hindúes en la Europa medieval.

   El matemático alemán Stifel en el siglo XV fue el que popularizó los símbolos + y - para los enteros positivos y enteros negativos, respectivamente.

   La consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos recién fue aceptada en el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos.

   Los números enteros recibieron este nombre, porque ya sean positivos o negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).

   ¿Dónde se utilizan los números enteros?

   Los números enteros negativos suelen utilizarse, por ejemplo: para escribir las temperaturas bajo cero, para indicar los subsuelos de un edificio, las pérdidas de dinero, las fechas ocurridas antes del nacimiento de Cristo, etc.

   Situaciones reales

!   Si una persona tiene un capital de $280, el número natural o entero positivo 280 representa el dinero que tiene; en cambio, si esa persona tiene una deuda de $280, su situación económica está por debajo del que no tiene nada, es decir, de $0 y se interpreta que tiene esa deuda por el número entero negativo -280.

!    En algunos territorios, como la Antártica, el frío es tan intenso que pueden registrarse temperaturas hasta de 50º bajo cero, representado por el entero negativo -50. Por otro lado, hay regiones cálidas, como el Amazonas, donde el calor es tan excesivo que la temperatura alcanza hasta 45º sobre cero, expresado por el número entero positivo 45.

!    Pitágoras es un reconocido matemático que nació en el año 569 antes de Cristo, o sea en el año representado por el número entero negativo -569. Mientras que Gauss, otro célebre matemático, nació en el año 1777 después de Cristo, es decir en el año 1777, que se expresa con un número entero positivo.

   Ejercicios 

1) Escribir tres ejemplos de números enteros positivos y tres ejemplos de números enteros negativos.

2) Señalar con una cruz los números que pertenecen al conjunto Z.

4               1,5              -2,1               -5                 ½                 0                  7               -45

3) Escribir con números enteros positivos o negativos estas expresiones:

a) El club perdió $1500.                e) La marea está 1 metro por debajo del nivel del mar.

b) Hace 6º bajo cero.                     f) El avión vuela a 1000 metros de altura.

c) El 8º piso del edificio.                g) Augusto nació en el año 63 a. C.

d) El 3º subsuelo del edificio.        h) Colón llegó a América en el año 1492 d. C.

4) Describir una situación real a la que se le pueda asignar el número: a) -5; b) -12.

   REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA

   Los números enteros pueden ser representados gráficamente en una recta, llamada recta numérica.

   Para representarlos pueden seguirse estas ayudas:

!      Se ubica el cero.

!      Se elige una distancia entre dos números enteros consecutivos.

!      Se representan los negativos a la izquierda del cero y los positivos a la derecha.

   Ejercicios 

1) a) Representar en una recta numérica los números -5 y 5.

b) Escribir con rojo los números enteros entre -5 y 0.

c) Escribir con azul los números enteros entre 5 y 0.

2) Colocar los siguientes números en la recta numérica: 7; -5; 8; 6; -4; -1; -7; 1

3) Observar la siguiente recta numérica. Han olvidado colocar el 0. ¿Dónde va?

4) Ubicar en la recta numérica los siguientes números enteros: 0; 1; -1; 2; -3; -5; 7; 3; 6; -4

5) Dados los números enteros: -3; +3; -2; +1; -5

a) Representarlos en la recta numérica.

b) ¿Cuál está más alejado de 0?

c) ¿Cuál está más cerca de 0?

d) ¿Cuántas unidades hay entre los números -5 y +3?

6) Representar en la recta numérica utilizando una escala apropiada.

a) -20; 30; 10; -50                                                b) -15; -45; 5; 25

   ORDEN

   El conjunto de los números enteros es ordenado, es decir, dados dos números enteros a y b, debe ocurrir necesariamente una y sólo una de las tres posibilidades siguientes:

1) a = b (a es igual a b).

2) a > b (a es mayor a b o b es menor a a).

3) a < b (a es menor a b o b es mayor a a).

   A partir de su representación en la recta numérica, se puede decir cuándo un número entero es mayor o menor que otro.

   Ejemplo:

3 es mayor a -4 (en símbolos 3 > -4), porque se encuentra a la derecha de éste último número.

O bien, -4 es menor a 3 (-4 < 3), porque se encuentra a la izquierda del mismo.

   Importante

!      Si tenemos dos números enteros positivos es mayor el que está más alejado de cero.

!      Si tenemos dos números enteros, uno positivo y uno negativo, es mayor el entero positivo.

!      Si tenemos dos números enteros negativos es mayor el que está más cerca de cero.

!      Cero es menor que cualquier entero positivo.

!      Cero es mayor que cualquier entero negativo.

   Ejercicios 

1) Escribir el signo < ó > según corresponda:

a) -2 ……… -6     c) -2 ……… 4       e) 5 ……… 12       g) 4 ……… -8       i) 7 ……… 10 

b) -5 ……… 0      d) -10 ……… -8    f) 11 ……… 0        h) -16 ……… 20   j) 3 ……… -3

2) Completar esta tabla.

	El mayor es	El menor es
-11; 17; -21
13; 27; 18
-29; -26; -35
41; -16; 9

3) Ordenar de menor a mayor los siguientes números enteros:

a) 9; 8; -3; -2; 0; 1; -10                                         c) -1; -3; 5; 4; 2; -8; -12; -20; -75

b) 1; -1; 2; -2; 6; -7; -5; -4                                     d) 5; -2; 3; 4; 9; 0; -1; -15; -7; -8; -3

4) Ordenar de mayor a menor los siguientes números enteros:

a) -5; 9; 4; 0; 6; -2; -16; 10                                   b) 8; -7; 6; -8; -3; 5; 0; 20; -50

   VALOR ABSOLUTO
   Se llama valor absoluto o módulo de un número entero a la distancia que existe entre ese número y el cero.

   Ejemplos:

   La distancia entre -4 y 0 es 4, entonces el valor absoluto de -4 es 4. Simbólicamente |-4| = 4, que se lee “valor absoluto de -4 es igual a 4”.  

   La distancia entre 3 y 0 es 3, entonces el valor absoluto de 3 es 3. Simbólicamente |3| = 3, que se lee “valor absoluto de 3 es igual a 3”.

   Ejercicios 

1) Calcular:

a) |-7| =           b) |-5| =           c) |+12| =         d) |-23| =          e) |-17| =          f) |+25| =

2) Completar con >, < ó = según corresponda:

a) |-9| …… |9|      b) -5 …… |5|         c) |-7| …… 7       d) |-6| …… |-15|       e) |-6| …… |-16|

3) Completar.

a) El valor absoluto de -1 es ......                         b) El valor absoluto de 0 es ......          

4) Colocar V si la afirmación es verdadera y F si es falsa.

 El valor absoluto de un número entero siempre es positivo o cero.

   OPUESTO

   Dos números son opuestos cuando tienen el mismo valor absoluto y distinto signo.

   Ejemplo: 

4 y -4 son números opuestos (porque |-4| = |4| = 4)

   Ejercicios

1) Completar.

Número	-17	3	|-5|	17	21	-36	|8|	-9	30	|-1|
Opuesto

2) Completar.

El opuesto de -3 es ......           

3) Colocar V si la afirmación es verdadera y F si es falsa.

El opuesto de un número entero negativo es negativo.